16.09 Mads Peter Sørensen (Institut for Matematik, DTU)
Kohærente fænomener i ikke-lineære partielle
differentialligninger
I de seneste 30-40 år har computer hardware og software undergået
en dramatisk udvikling. For anvendt matematik har dette betydet et
afgørende gennembrud for studiet af ikke-lineære systemer.
Numeriske simulationer har givet vigtige vink i udviklingen af analytiske
værktøjer for ikke-lineære partielle differentialligninger.
Et prominent eksempel er opdagelsen af solitoner i anden halvdel af
tresserne.
Historien om solitoner starter faktisk langt tidligere i 1834 med
eksperimentelle observationer af lokaliserede vandbølger på
Union Canal i Skotland af John Scott Russell. Ligningen til beskrivelse
af disse enkeltstående (solitære) bølger blev først
udledt i 1895 af de to hollandske forskere Korteweg og de Vries og
kaldes nu KdV ligningen. I 1955 forsøgte Fermi, Pasta og Ulam
forgæves at simulere energiens ligedeling mellem tilstande i
en endimensional krystal af masser forbundet med ulineære fjedre.
Startende fra en sinus-formet begyndelsesbetingelse fandt de tilbagevenden
til den oprindelige begyndelsestilstand, altså alt andet en
ligedeling af energien. I kontinuum grænsen går Fermi,
Pasta og Ulams problem over i KdV ligningen, som først blev
fuldstændig løst i 1967 af Gardner, Greene, Kruskal og
Miura med brug af inverse spredningsteori. Denne metode blev hurtigt
generaliseret til at løse sine-Gordon ligningen og den ikke-lineære
Schrödinger ligning, hvilket førte til nye løsninger,
som i dag kaldes solitoner.
I dette foredrag gives et kort resume af teorien for solitoner illustreret
med computer animationer af disse løsningers særlige
egenskaber. I den fysiske verden spiller tab og energitilførsel
en vigtig rolle og perturbationsmetoder samt numeriske metoder er
derfor uundværlige i studiet af perturberede ikke-lineære
partielle differentialligninger. Eksempler vil blive vist for sine-Gordon
ligningen i to rumlige koordinater i et ikke rektangulært domæne.
Perturberede soliton lignende tilstande er eksempler på kohærent
dynamik. Et andet eksempel er dyrkning af énkrystalinsk silicium
hos Topsil a/s, Frederikssund, ved hjælp af en flydende zone
proces til fabrikation af silicium wafers. I smelten af silicium forefindes
hvirvelformede kohærente strømningsmønstre af
afgørende betydning for fremstillingsprocessen. Strømningshvirvler
spiller også en betydelig rolle ved design af fly, vindmøller,
pumper, skibe, m.m.
Seneste revision: 18-08-04