| 
|
IMFUFA Institutseminarer - efterår 2004
16.09 Mads Peter Sørensen (Institut for Matematik, DTU) I de seneste 30-40 år har computer hardware og software undergået en dramatisk udvikling. For anvendt matematik har dette betydet et afgørende gennembrud for studiet af ikke-lineære systemer. Numeriske simulationer har givet vigtige vink i udviklingen af analytiske værktøjer for ikke-lineære partielle differentialligninger. Et prominent eksempel er opdagelsen af solitoner i anden halvdel af tresserne. Historien om solitoner starter faktisk langt tidligere i 1834 med eksperimentelle observationer af lokaliserede vandbølger på Union Canal i Skotland af John Scott Russell. Ligningen til beskrivelse af disse enkeltstående (solitære) bølger blev først udledt i 1895 af de to hollandske forskere Korteweg og de Vries og kaldes nu KdV ligningen. I 1955 forsøgte Fermi, Pasta og Ulam forgæves at simulere energiens ligedeling mellem tilstande i en endimensional krystal af masser forbundet med ulineære fjedre. Startende fra en sinus-formet begyndelsesbetingelse fandt de tilbagevenden til den oprindelige begyndelsestilstand, altså alt andet en ligedeling af energien. I kontinuum grænsen går Fermi, Pasta og Ulams problem over i KdV ligningen, som først blev fuldstændig løst i 1967 af Gardner, Greene, Kruskal og Miura med brug af inverse spredningsteori. Denne metode blev hurtigt generaliseret til at løse sine-Gordon ligningen og den ikke-lineære Schrödinger ligning, hvilket førte til nye løsninger, som i dag kaldes solitoner. I dette foredrag gives et kort resume af teorien for solitoner illustreret med computer animationer af disse løsningers særlige egenskaber. I den fysiske verden spiller tab og energitilførsel en vigtig rolle og perturbationsmetoder samt numeriske metoder er derfor uundværlige i studiet af perturberede ikke-lineære partielle differentialligninger. Eksempler vil blive vist for sine-Gordon ligningen i to rumlige koordinater i et ikke rektangulært domæne. Perturberede soliton lignende tilstande er eksempler på kohærent dynamik. Et andet eksempel er dyrkning af énkrystalinsk silicium hos Topsil a/s, Frederikssund, ved hjælp af en flydende zone proces til fabrikation af silicium wafers. I smelten af silicium forefindes hvirvelformede kohærente strømningsmønstre af afgørende betydning for fremstillingsprocessen. Strømningshvirvler spiller også en betydelig rolle ved design af fly, vindmøller, pumper, skibe, m.m.
|
|