Matematisk modellering og dens grundvidenskabelige forudsætninger

I vor tid spiller matematik en central rolle for andre videnskabs- og praksisområder og inden for teknologi, planlægning og regulering af systemer og processer af samfundsmæssig betydning. Denne rolle realiseres i hovedsagen gennem bygningen, udnyttelsen og vurderingen af matematiske modeller, såvel på basis af etableret som af til lejligheden nyudviklet matematik.

Formålet med dette ph.d.-program er på denne baggrund at uddanne dels ph.d-er med kompetencer til at skabe, analysere og anvende matematiske modeller inden for områder uden for matematikken selv, såsom biologi, fysik, kemi, medicin, planlægning, økonomi m.v., dels ph.d-er med kompetencer til at skabe, analysere og anvende matematiske redskaber der kan indgå i matematisk modellering.
Der er altså tale om et dobbelt perspektiv på et kontinuum af aktiviteter, der rækker fra opstilling og udnyttelse af konkrete modeller i den ene ende, over grundvidenskabelige undersøgelser af de matematiske og andre forudsætninger for modellerne og deres egenskaber, og til videnskabsteoretiske og -historiske studier af dette samspil, i den anden ende. Derved har matematisk modellering direkte adgang til at trække på et stort register af grundvidenskabelig matematisk virksomhed, og denne får, på sin side, inspiration til at udvikle og analysere nye matematiske resultater og værktøjer stimuleret af modelleringsaktiviteter.

Et program med dette perspektiv, der er enestående i Danmark, drager på afgørende vis nytte af det dynamiske miljø af gensidigt befrugtende ekspertise inden for de berørte felter som igennem mange år er blevet opbygget ved IMFUFA. Medarbejderne i tilknytning til programmet har nationalt og internationalt været på forkant med udviklingen inden for feltet, både ved at have ydet væsentlige videnskabelige bidrag til det og ved igennem tre årtier at have haft en pionerrolle i den undervisningsmæssige udvikling af det. I den forbindelse har medarbejderne vejledt et stort antal kandidat- og ph.d.-projekter på området. Programmet drager her nytte af de pågældende medarbejderes omfattende og mangesidede internationale og nationale netværk. Eksempler på institutioner hvortil der er en særlig nær kontakt er anført nedenfor. Miljøet i tilknytning til programmet er tillige karakteriseret af et vidtgående fællesskab mellem instituttets matematikere og fysikere, bl.a. om modelleringsproblemstillinger.

Som eksempler på forskningsområder inden for programmets ramme som der har hidtil været arbejdet med ved instituttet, kan nævnes:

· Modellering af det humane blodkredsløb, herunder cardiovaskulære reguleringsmekanismer
· Modellering af populationers dynamik, specielt epidemiske sygdommes udvikling og spredning
· Partielle differentialligninger og deres rolle ved modellering af fysiske og biologiske systemer
· Reelle og komplekse dynamiske systemer, herunder såkaldt holomorf dynamik og studiet af fraktale strukturer
· Statistiske og matematiske metoder til beskrivelse af vegetationsudvikling
· Optimering og kontrol af systemer og processer
· Videnskabshistoriske og -teoretiske studier af samspillet mellem matematisk optimering og udviklingen af det matematiske grundlag herfor

Som eksempler på institutioner, i hovedsagen i udlandet, hvortil programmets medarbejdere har særligt nære samarbejdsrelationer og dets ph.d.studerende kan tage på studieophold, kan nævnes:

Caltech, Pasadena, USA
University of Cambridge, UK
University of Cergy-Pontoise, France
Cornell University, Ithaca, NY, USA
Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby, Denmark
University of Graz, Austria
Harvard Medical School, Cambridge, MA, USA
Kungliga Tekniska Högskolan, Stockholm, Sverige
University of Mainz, Germany
Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn, Germany
State University of New York at Stony Brook, NY, USA
North Carolina State University, Raleight, NC, USA
University of Paris XI (Centre Universitaire d'Orsay), France
University of Pennsylvania, Philadelphia, PA, USA
Princeton University, Princeton, NJ, USA
Forskningscenter Risø, Roskilde, Denmark
University of Toronto, Ontario, Canada
University of Trento, Italy

Mathematical modelling and its mathematical prerequisites

In our time, mathematics plays a crucial role in other fields of science and practice as well as in technology, planning, and control of systems and processes of societal significance. This role is brought about predominantly through the building, employment, and assessment of mathematical models, on the basis of existing mathematics or mathematics developed ad hoc.

Against this background, the aim of the present PhD programme is to educate PhDs with competencies to create, analyse and utilise mathematical models in extra-mathematical fields such as biology, chemistry, economics, medicine, physics, planning, etc., as well as PhDs with competencies to create, analyse, and utilise mathematical tools of actual or potential use for mathematical modelling.
This constitutes a dual perspective on a continuum of activities, ranging from the building and utilisation of concrete models, at one end, over fundamental investigations of mathematical and other prerequisites and conditions of models and their properties, to historical or philosophical studies of this interplay, at the other end. In that way, mathematical modelling has direct access to a wide range of fundamental mathematical activity, which, in turn, receives inspiration for the development and analysis of new mathematical results and tools stimulated by modelling activities.

This programme (which is unique in Denmark) draws, in decisive ways, upon the dynamic environment of mutually fertilising expertise within relevant fields, which has been established at IMFUFA over several decades. Faculty members associated with the programme are at the front end of the development of their respective sub-fields, both by virtue of the significant research contributions they have made, and by virtue of their records as pioneers of long standing in teaching in the field, in particular as supervisors of a large number of master's and PhD projects pertaining to it. Thus, this programme benefits greatly from the wide and multi-faceted international and national networks that these faculty members possess. Examples of institutions with which there is particularly close contact are listed below. Finally, the scientific environment surrounding the programme is characterised by extensive collaboration between the mathematicians and the physicists in the department, especially as regards modelling problems and issues.

As examples of research pertaining to the programme, which has been conducted at the department so far, the following can be mentioned:

· Modelling of the human blood flow, including mechanisms of cardiovascular control
· Modelling of the dynamics of populations, in particular the development and dissemination of infectious diseases
· Partial differential equations and their role in the modelling of physical and biological systems
· Real and complex dynamical systems, including holomorphous dynamics and the study of fractal structures
· Statistical and mathematics methods for the description of vegetation spread and growth
· Optimisation and control of systems and processes
· Historical and philosophical studies of the relations between mathematical optimisation and the development of its mathematical foundation

The following are examples of institutions, mostly foreign, with which the associates of the programme have established particularly close working relations, and at which PhD students under the programme will be welcome visitors, are:

Caltech, Pasadena, USA
University of Cambridge, UK
University of Cergy-Pontoise, France
Cornell University, Ithaca, NY, USA
Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby, Denmark
University of Graz, Austria
Harvard Medical School, Cambridge, MA, USA
Kungliga Tekniska Högskolan, Stockholm, Sverige
University of Mainz, Germany
Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn, Germany
State University of New York at Stony Brook, NY, USA
North Carolina State University, Raleight, NC, USA
University of Paris XI (Centre Universitaire d'Orsay), France
University of Pennsylvania, Philadelphia, PA, USA
Princeton University, Princeton, NJ, USA
Forskningscenter Risø, Roskilde, Denmark
University of Toronto, Ontario, Canada
University of Trento, Italy

Danish version