Projektet er et videnskabsfagsprojekt og hører under 2. modul på matematik-overbygningen ved IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. Projektet er udarbejdet i foråret 2002 af Neslihan Saglanmak, Uffe Thomas Volmer Jankvist og David Heiberg Backchi.
Projekt handler overordnet om vejen til beviset for femtegradsligningens algebraiske uløselighed. Mere præcist handler det om kombinationers, permutationers og invariansbegrebets betydning for den algebraiske ligningsløsning i perioden fra 1545 til 1815 (jf. vedlagte abstract). Siden babylonernes tid (ca. 2000 f.v.t.) har man kendt til formlen for andengradsligningens løsning, men først i 1545 -- altså 3500 år senere -- blev der publiceret en algebraisk løsningsformel til tredje- og fjerdegradsligninger. De næste århundreder forsøgte matematikere at finde en generel løsningsformel for n'tegradsligninger. Dette lykkedes imidlertid ikke for ligninger med n>4, da en sådan ikke findes, hvilket blev klart med Abels (1802-1829) bevis for femtegradsligningens algebraiske uløselighed i 1824.

Oplægget
Vi forestiller os at vi i vores oplæg vil begynde med at vise, hvorledes en andengradsligning kan løses vha. kvadratisk kompletering samt beskrive, hvad man forstår ved en algebraisk løsningsformel. Dernæst vil vi fortælle kort om Cardano (1501-1576), Ferrari (1522-1565) og deres samtidige som fandt løsningsmetoder til tredje- og fjerdegradsligninger med udgangspunkt i geometriske figurer. Vi vil også give et eksempel på Cardanos omstændelige notationsform og derefter vise, hvorledes Viète (1540-1603) med sin nye notationsform samt det at benævne koefficienter med bogstaver hæver det matematiske abstraktionsniveau. Viète er den første som antyder sammenhængen imellem et polynomiums koefficienter og dets rødder, men det er først med Girard (1595-1632) at Viète-relationerne får den form vi kender i dag. Vi vil i vores oplæg kort introducere disse og herigennem de elementære symmetriske polynomier.
Matematikerne i perioden frem til ca. 1770 forsøgte hele tiden at opnå større generalitet ved at ændre blot en lille smule på de allerede etablerede løsningsmetoder. Vi vil i vores oplæg drage paralleller imellem matematikken og den på dette tidspunkt i Europa fremherskende alkymi. På samme måde som alkymisterne hele tiden forsøgte at lave guld ved at blande forskellige metaller på forskellige måder, forsøgte disse matematikere at bestemme rødder ved hele tiden at kombinere ligningernes koefficienter på forskellig vis.
I 1770-71 blev fokus flyttet fra at videreudvikle allerede eksisterende løsningsmetoder til at analysere metoderne, og derigennem opnå en større forståelse for hvorfor metoderne ikke lod sig generalisere til højeregradsligninger. De vigtigste arbejder i denne forbindelse blev udført af Lagrange (1736-1813) og Vandermonde (1735-1796). Vi vil give et eksempel på, hvorledes Vandermonde løste andengradsligningen ved at udtrykke den i de elementære symmetriske polynomier. På trods af at disse matematikeres overordnede mål stadig var at finde en generel løsningsformel for højeregradsligninger, var deres bidrag til ligningsløsningen betydelige.
Den første matematiker der forsøgte at bevise at der ikke findes en generel løsningsformel til højeregradsligninger var Ruffini (1765-1822). Hans bevis for femtegradsligningens algebraiske uløselighed blev dog ikke godtaget af datidens matematikere, og selv om Ruffini forfinede sit bevis og udgav det flere gange, var det først i 1824, med Abels bevis for samme, at uløseligheden af femtegradsligningen blev accepteret. Vi vil diskutere mulige grunde til at Ruffinis bevis ikke blev accepteret af hans samtid.
Afslutningsvis vil vi kort nævne Galois (1811-1832), der som den første viste hvilke klasser af ligninger der var algebraisk løsbare, og dermed hvilke der ikke var. Eventuelt kan Gauss' (1777-1855) rolle i den algebraiske ligningsløsning også kort belyses.
Overordnet vil vi forsøge at have en historisk indgangsvinkel i oplægget og undgå at komme for meget ind på gruppeteoretiske elementer, samt anden matematik der ikke er kendt på gymnasieniveau. Dermed vil vi ikke have helt samme fokus på problemet som vi har haft i vores projekt, men forsøge at holde det på et matematisk overskueligt plan.

Abstract
Dette projekt er et studie af kombinationers, permutationers og invariansbegrebets (symmetriers) betydning for -- og i -- den algebraiske ligningsløsning i perioden fra ca. 1545 til 1815. I projektet redegøres for Cardanos metode til løsning af tredjegradsligningen, Ferraris metode til løsning af fjerdegradsligningen, Viètes og Girards udvikling af de såkaldte Viète-relationer samt metoderne af Tschirnhaus, Bezout og Euler til løsning af ligninger af grad < 5. Hernæst beskrives Warings hovedsætning for symmetriske polynomier, Malfattis metode til løsning af generelle tredje- og specielle femtegradsligninger samt arbejderne omhandlende den algebraiske ligningsløsningsteori af hhv. Lagrange og Vandermonde. Også Ruffinis og Cauchys udvikling af permutationsbegrebet beskrives i projektet.
På baggrund af denne redegørelse gives en opsamling af hvor der i de pågældende metoder/arbejder forefindes brugen af kombinationer, permutationer og invarians og hvorledes disse tre begreber er blevet implementeret og etableret igennem den algebraiske ligningsløsning.
Ydermere gives der en vurdering af i hvilken grad de pågældende matematikere, selv anså deres metoder for at være konceptudviklende samt hvilken betydning de anså deres arbejder for at have i henhold til udviklingen af den algebraiske ligningsløsning.