Universalitet af ledningsevnen

Af: Jeppe Dyre og Thomas Schrøder (IMFUFA).

At en elektrisk strøm let går gennem metaller, har de flest af os nok smerteligt erfaret. Men strøm kan også gå gennem ikke-metaller, ja faktisk kan alle materialer lede strøm i højere eller mindre grad. Vi har studeret den elektriske ledningsevne af "uordnede" ikke-metaller som fx glas eller plastik. At et materiale er uordnet betyder at det ikke er en krystal (hvor molekylerne sidder regelmæssigt placeret ligesom firkanterne på et ternet papir).

Ledningsevnen angiver forholdet mellem hvor stor en strøm der går i materialet og hvor stort det elektriske felt er. Det elektriske felt behøver ikke at været konstant, men kan godt variere i tiden med en bestemt frekvens. Jo højere frekvens, jo flere gange skifter feltet mellem plus og minus inden for et givet tidsrum, og ledningsevnen afhænger af frekvensen.

De fleste steder i verden studeres emnet eksperimentelt. Fordi teorien på dette område halter bagefter eksperimenterne, har vi valgt at beregne ledningsevnens frekvensafhængighed ved computer simuleringer, altså ved rent teoretiske studier. Selvom vores drivkraft har været en rent grundvidenskabelig nysgerrighed, har resultaterne også praktisk betydning (for halvleder-industri, produktion af sensorer, glas-industri, osv).

Det vides fra gammel tid (ca 1940) at ledningsevnen ved lave frekvenser er konstant, mens den ved højere frekvenser vokser efterhånden som frekvensen øges. Computer-beregningerne har fokuseret på tilfældet ekstrem uorden hvilket svarer godt til situationen i praksis for mange stoffer. De omfattende beregninger involverer løsningen af op til 10 millioner ligninger med lige så mange ubekendte. Resultaterne viser at i alle materialer med ekstrem uorden har ledningsevnen samme frekvensafhængighed - ledningsevnen udviser en såkaldt universel frekvensafhængighed. Dette resultat forklarer talrige eksperimentelle resultater der i en lang årrække var lidt af en gåde - man kunne ikke forstå hvorfor vidt forskellige materialer havde stort set samme frekvensafhængige ledningsevne. De første resultater af vores beregninger er opsummeret i [1].

De seneste beregninger viser at universaliteten skyldes, at uordnede materialer alle har samme geometriske forhold, hvad angår de stier strømmen fortrinsvis løber ad [2,3,4,upubliceret]. Figuren viser hvor krøllede sådanne stier egentlig er. Geometrien af disse såkaldte tilfældige fraktaler er studeret af matematikere gennem mange år. Vi arbejder nu på at udnytte de rent matematiske resultater så der opnås en præcis kvantitativ beskrivelse af ledningsevnens universelle frekvensafhængighed.

Figuren viser et eksempel på strukturen af de bedst ledende stier i et uordnet materiale som glas eller plastik, en såkaldt tilfældig fraktal. Strømmen følger primært de markerede stier; den kan gå fra den ene ende til den anden (men ad omveje) - prøv selv! RUC-forskning har vist at ledningsevnens universelle frekvensafhængighed kan forklares alene ud fra geometrien af tilfældige fraktaler. Dermed forbindes rent matematisk grundforskning i fraktaler med en fysisk målelig størrelse, nemlig den frekvensafhængige ledningsevne af uordnede materialer.

1. J. C. Dyre and T. B. Schrøder: Universality of ac conduction in disordered solids, Reviews of Modern Physics 72, 873-892 (2000).
2. T. B. Schrøder and J. C. Dyre: Scaling and universality of ac conduction in disordered solids, Physical Review Letters 84, 310-313 (2000).
3. J. C. Dyre and T. B. Schrøder: Hopping models and ac universality, Physica Status Solidi (b) 230, 5 (2002).
4. T. B. Schrøder and J. C. Dyre: Computer simulations of the random barrier model, Physical Chemistry - Chemical Physics 4, 3173 (2002).